張益唐攻克朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文，來(lái)了！

111頁(yè)論文，滿(mǎn)滿(mǎn)當當全是表達式。

論文釋出之前，張益唐證明這一黎曼猜想相關(guān)問(wèn)題的消息，早已震動(dòng)數學(xué)界。

(資料圖片僅供參考)

就有專(zhuān)家教授表示：

張益唐要是能把Landau-Siegel做出來(lái)，就相當于一個(gè)人被閃電擊中兩次。

而張益唐自己也說(shuō)，攻克朗道-西格爾零點(diǎn)就像是大海撈針。

整個(gè)過(guò)程我把海底的情況都摸清楚了，后來(lái)發(fā)現不用這根針，我也能把它做出來(lái)。

關(guān)于這項成果的意義，張益唐則認為：

比孿生素數猜想的意義更大，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想有點(diǎn)像黎曼猜想那樣，它一解決，一百個(gè)猜想都變成定理了。

完整論文，我們文末奉上。

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

所謂朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是黎曼猜想的某種弱形式。

核心要回答的一個(gè)問(wèn)題就是：是否存在一個(gè)叫做朗道-西格爾零點(diǎn)的東西。

首先我們設實(shí)數σ，t和復數s=σ+it。

根據知乎博主“TravorLZH”的介紹，十九世紀的數學(xué)家為了研究素數分布引入了黎曼猜想。

而為了研究等差數列上的素數分布，數學(xué)家Dirichlet引入了L函數。

再后來(lái)，數學(xué)家也發(fā)展出了對應的解析工具來(lái)說(shuō)明L函數在σ=1時(shí)無(wú)零點(diǎn)，從而證明了等差數列上的素數定理：

但對于上面的公式，數學(xué)家們依舊是不滿(mǎn)意，他們還要繼續縮減L函數的非平凡零點(diǎn)的存在區域。

于是前人證明了L函數的非平凡零點(diǎn)基本上都能落在類(lèi)似于下面公式中的沙漏型的區域：

如果L函數所有的非平凡零點(diǎn)都落在這個(gè)區域內，就可以得到帶余項的等差數列素數定理。

可惜的是，數學(xué)家Edmund Landau發(fā)現當X滿(mǎn)足特殊性質(zhì)時(shí)其對應的L函數可能會(huì )出現落在上面公式之外的異常零點(diǎn)（exceptional zero）。

但幸運的是，Landau證明了對于每個(gè)這樣的L函數，若下面區域中存在異常零點(diǎn)，則這樣的零點(diǎn)只可能出現一個(gè)，而且階數也恰好只能是一。

后來(lái)Walfisz利用這個(gè)更弱的非零區域得到了一個(gè)妥協(xié)版的等差數列素數定理：

很明顯，這個(gè)公式的限制條件要多了許多，所以大家當然希望L函數能夠沒(méi)有異常零點(diǎn)。

由于Landau和Siegel兩位數學(xué)家在L函數異常零點(diǎn)這個(gè)領(lǐng)域里做了開(kāi)創(chuàng )性的工作，所以異常零點(diǎn)也常常被稱(chēng)為L(cháng)andau-Siegel零點(diǎn)。

而斷言L(fǎng)函數沒(méi)有異常零點(diǎn)的猜測就被稱(chēng)為L(cháng)andau-Siegel猜想。

整體來(lái)看，其實(shí)廣義黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分條件。

但這一個(gè)世紀以來(lái)的研究表明Landau-Siegel問(wèn)題可以比黎曼猜想還要難解決。

實(shí)際上，關(guān)于朗道-西格爾猜想，早在07年張益唐就曾在arXiv上發(fā)布一篇論文，但是里面的論證有些Bug。

有意思的是，在與北大校友交流時(shí)，張益唐透露，一開(kāi)始，他并沒(méi)有很系統地去研究這個(gè)猜想。

但當今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德（James Maynard），2020年在他的基礎之上，把“孿生素數猜想”的結果又改進(jìn)了一大步，張益唐心想：

我一定要做出一個(gè)更好的東西。

上面這則趣聞，出自北京大學(xué)大紐約地區校友會(huì )主辦的張益唐線(xiàn)上交流座談。

在其中，還有更多關(guān)于這位世界級數學(xué)家真實(shí)的一面。

在此，我們附上QA環(huán)節的部分文字整理：

主持人：研究和生活中覺(jué)得最困難的時(shí)候是如何堅持下來(lái)的呢？

張益唐：如果是指2013年之前（張益唐在2013年證明孿生素數猜想），那可能是我這人天性比較淡泊，我對生活要求很低，所以我也沒(méi)有太多的困難。

盡管看著(zhù)別人掙錢(qián)多，也不能說(shuō)沒(méi)有一點(diǎn)不平衡，但總的講我還是能坦然處之的。

就是我只要有錢(qián)能夠花，盡管弄得我太太不高興（全場(chǎng)大笑），但我還是不覺(jué)得太困難，我還是能夠堅持下來(lái)。

主持人：您如何維持對一件事情的專(zhuān)注？

張益唐：這是一種習慣，某種程度我都覺(jué)得是不是我得了一種強迫癥。就說(shuō)你想停都停不下來(lái)了。

比如朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題。就是我剛才說(shuō)大海撈針，最后我也覺(jué)得這個(gè)針大概是沒(méi)有了，撈不到了，可還是停不下來(lái)。

某種程度上，如果說(shuō)你一旦真的是完全被吸引住的話(huà)，不用刻意怎么樣去維持，自然應該就是能夠維持的。

主持人：平均每天花多長(cháng)時(shí)間思考數學(xué)問(wèn)題？

張益唐：坦率講我一天至少思考12個(gè)小時(shí)以上。

因為我可以不寫(xiě)，不看書(shū)，我可以在走路，或者干別的什么事。但我可以一直想這個(gè)問(wèn)題，所以實(shí)際上應該是非常長(cháng)的。長(cháng)到連我太太都要罵我。

我順便提一下，就是當我的結果快完成的時(shí)候，我幾乎是每天晚上做夢(mèng)都在想這個(gè)。而且非常有意思，總覺(jué)得這一步還不對，還有問(wèn)題，弄得挺煩惱，幾乎每天都是這樣。

主持人：您如何看待學(xué)術(shù)上的競爭與合作，比如讀書(shū)時(shí)與同門(mén)之間的競爭、畢業(yè)后與同行之間的競爭。您是如何調整心態(tài)？

張益唐：我覺(jué)得競爭是正常的。不要說(shuō)在學(xué)術(shù)上，就說(shuō)人有沒(méi)有心理不平衡的時(shí)候，這多少都會(huì )有的。

比如我最近遇到的一次，就是那個(gè)英國年輕數學(xué)家梅納德（詹姆斯·梅納德），他在孿生素數這個(gè)問(wèn)題下，一下把我給超過(guò)去了，而且超過(guò)了不少。

你說(shuō)當時(shí)我的心理是什么樣的？我也不管了，反正我已經(jīng)出名了。（全場(chǎng)大笑）

沒(méi)有。其實(shí)朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題，我以前就開(kāi)始在想了，但沒(méi)有那么系統地想。但就是這樣，我就下決心我一定還要做出一個(gè)更好的東西。

而在今天我敢說(shuō)這句話(huà)，我已經(jīng)把它做成了。

主持人：關(guān)于數學(xué)等基礎科學(xué)的應用化，張師兄怎么看？

張益唐：數學(xué)里頭很多東西都已經(jīng)被應用，而且正在發(fā)現越來(lái)越多的應用，特別在物理在工程上什么的。

即使有一些現在還沒(méi)有找到應用的，比如像純粹的解析數論要解決的這些問(wèn)題，我相信早晚也會(huì )發(fā)現它是能應用的。但具體這個(gè)時(shí)間我還不能預測。

另外我們不能說(shuō)因為這個(gè)東西現在暫時(shí)沒(méi)有應用，或者找不到應用，就輕視它。

基礎數學(xué)、基礎科學(xué)的這個(gè)研究，它不僅將來(lái)會(huì )具有潛在的應用，它也是衡量一個(gè)民族，一個(gè)國家，你的文化程度，你的發(fā)達程度，這一點(diǎn)是不能忽略的。

本文作者：量子位，文章來(lái)源：量子位，原文標題：《張益唐111頁(yè)零點(diǎn)猜想論文出爐！自稱(chēng)比孿生素數猜想意義更大，每天思考12小時(shí)被太太罵》，華爾街見(jiàn)聞?dòng)兴鶆h減。

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關(guān)鍵詞： 孿生素數猜想 等差數列 素數定理